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       六十一甲子，這是一個不算短的時間。也正是從20世紀50年代起，我進入力學界，目睹力學學科的發展變化，迄今已經六十年了。

在這六十年中，計算力學的誕生與發展、材料力學的性質研究和力學一些基本理論問題的提出與解決是最值得了解而又影響深遠的成果。

01

計算力學

在早期應用計算機求解力學問題僅是利用了其運算速度快這一特點。但一臺計算機需要數以百計的工作人員編程序才能喂飽，于是編寫程序又成了使用計算機的瓶頸，人們想出了許多方法去解決這一困難。從20世紀50年代先后出現的符號匯編語言、FOR- TRAN 語言、ALGOL 語言等以及隨之而迅速發展起來的軟件產業，就是為了解決這一問題應運而生的。最成功的就是有限元方法的產生與發展，它的產生是計算力學作為力學的一個獨立分支學科形成的標志。

在20世紀50年代中期世界各國都有一批人在思考用計算機求解結構力學與連續介質力學問題。如美國的特納、 前蘇聯的符拉索夫、中國的馮康都提出了帽子函數插值或單元剛度的矩陣表示。所以有限元的思想是一種世界性思潮的產物。

20世紀50年代末加利福尼亞大學伯克利分校的威耳孫在克勞夫指導下完成的博士論文《二維結構的有限元分析》是有限元法的發展歷史上的重要事件，該論文編寫了世界上第一個解決平面彈性力學問題的通用程序。這個程序的功能是利用它解決任何平面彈性力學問題均不需再編程序，只要按說明輸入必要的描述問題的幾何、材料、荷載數據，機器就可以進行計算，并且按照要求輸出計算結果。有限元法的程序一開始使用，立刻顯出它的無比優越性。原來在彈性力學領域內對付平面問題，只有復變函數方法與平面光彈性方法兩種，但有限元法遠優于這兩種方法，因此這兩種方法漸漸退出了歷史舞臺。

威耳孫在有限元程序系統方面后來還進行過許多有意義的研究，他相繼編寫了有限元的多種單元的程序SAP（Structural Analysis Program）和適應微處理機的程序 SAP81。這兩個程序經曲圣年和袁明武等人的移植與修正、擴充改造形成獨立的版本在我國工程建設中發揮了重大作用。在他的指導下，他的研究生編寫了非線性結構分析程序 NONSAP，NONSAP 經過美國巴特的改進形成了有世界影響的非線性分析程序 ADINA。

1972 年北京大學曲圣年等用匯編語言編的平面問題 BD 通用程序，在解決許多水工問題中發揮了很大的作用。

在此之后，結構分析的有限元軟件迅速發展。包括二維元、三維元、梁單元、桿單元、板單元、殼單元、流體單元等多種單元、能解決彈性、塑性、流變、流體以及溫度場、電磁場各種復雜耦合問題的軟件以及軟件系統不斷出現，使用有限元法解決實際問題迅速在工程技術部門普及。計算力學的發展，極大地改變了工業結構設計的工作狀況。在使用計算機之前的設計中，百分之九十是靠實驗，百分之十靠計算，如今百分之十靠實驗，百分之九十靠計算。隨之而來的無圖紙加工、計算機輔助加工等領域的發展，極大地提高了設計效率。

面對計算力學的迅速發展以及因它所取得的成功，一些學者對于計算力學的前景產生了過分樂觀的估計。20年前美國就曾有人預言，再過10年風洞就要被計算機代替。如今20年過去了，計算機仍不能取代任何風洞。計算力學目前也并非無所不能，對于可以用線性理論來近似的那些問題，計算力學可以較好地解決。但對于非線性的力學問題，計算力學幾乎還是無能為力。

從20世紀60年代開始，在結構分析的有限元程序中，逐漸計入非線性項。例如，涉及結構材料的塑性性質，被定義為物理非線性問題；涉及結構大變形引起的修正，被定義為幾何非線性問題。最初的計算方案都是采用荷載增量法，即逐步給荷載一個小的增量，求相應的變形增量。20世紀60年代末，人們在實際應用中發現，在荷載達到極大值時計算機總是溢出而停機。這個問題困惑了人們許多年，直到 20 世紀末，美國學者溫泊納和荷蘭學者瑞克斯才分別從理論上提出解決這個問題的方法，很快人們在程序上實現了這個后被稱為弧長法的方法。

結構的優化設計是計算力學中一個重要的非線性研究領域，它的主要目的是在滿足一系列條件下（這些條件也被稱為約束）尋求結構最優參數。通常這類問題是非線性的，而且計算量非常大，只有靠計算機的幫助才能解決。

在求解非線性問題中，首先面臨的是分叉的問題。在有限元的通用程序中，對于結構穩定性的問題，通常是將問題化歸于一個特征值問題，它的基礎還是線性理論。在用非線性程序來求解時，往往由于遇到分叉而不能前進。這是因為在分叉點，結構的總體剛度矩陣退化問題無法繼續求解。為了克服這一困難，針對高維系統中平衡解的靜分叉以及霍普夫分叉，一系列相關的方法陸續出現，但是在實際應用中還是不能徹底解決問題。關于高維系統的同宿軌道與異宿軌道的計算，以及高維系統向混沌轉化的計算，迄今仍是難題。

02

材料的力學

性質研究

20世紀人類經歷了一次材料革命。隨著各種新的高強度合金材料、高分子材料、陶瓷材料、復合材料的出現，提出了大量新的力學課題。

高強度材料出現后，遇到的第一個問題就是高強度材料的破壞大都是脆斷，且強度極限比較分散。而以軟鋼為主要結構材料時，材料的屈服能夠使超靜定結構的應力重新分布，使各個結構元件的受力更合理。但是高強度構件的脆斷卻能夠導致整個結構的破壞，有許多事故警告人們需要制定和修訂適應新材料的設計規范。

在材料力學性質研究中，最應當提到的是四個基礎性的研究： 1909年卡拉索夫關于具有橢圓孔無限平面問題的復變函數解；1920年格里菲斯關于玻璃棒強度與具有裂紋的解釋；1934年泰勒關于位錯的研究；以及1957年艾舍爾比關于無限彈性體中有橢球夾雜的分析解。這些經典解以及它們的推廣和擴充，后來構成了應用于材料強度研究的理論基礎。由于這些研究，大大改善了各種結構使用的材料比例，以航空結構來說，到2013年，機身所用的復合材料已占64.6%，航空發動機復合材料占 6.9%，飛行器內部復合材料占 17.8%。此外采用高強度合金的結構設計既節約又安全，類似的事故大為減少。

纖維增強材料的機身尾

03

力學一些基本理論問題的提出與解決

3.1

KAM 定理與穩定性理論的進一步發展

一般對于微分方程中含有小參數的項，得到的結論是，解中的小參數對解的影響也是微小的。可是如果系統中含有一個小參數的周期擾動，這個系統會不會失去穩定性？這就是200年前拉普拉斯提出來的關于太陽系的穩定性問題，經過龐加萊的定性理論的發展，1954年，前蘇聯著名數學家科爾莫哥羅夫提出了一個猜想，隨后在 1963 年被他的學生阿諾爾德證明，在略為不同的提法下，1962年被茅扎爾所證明。所以這個猜想現在被稱為科爾莫哥羅夫－阿諾爾德－茅扎爾定理，也就是 KAM 定理。

柯爾莫哥洛夫

這個定理涉及哈密爾頓正則方程組解的長期穩定性問題。它不像李亞普諾夫的穩定性是關于初始條件的擾動后的穩定性問題，所以靠李亞普諾夫的理論不能解決這類問題。這類問題需要考慮施加一個長期的小擾動是否穩定的問題。KAM 定理的主要結論是，在一定的條件下，概率為1（即絕大多數）的情形是，原來具有周期解的哈密爾頓的正則方程組在小擾動下對應的解為擬周期解，即只在某個高維的環面內運動。也就是說，系統不穩定的概率為零。根據這個定理解決了當年龐加萊提出的平面限制性三體問題的穩定性問題。

俄國學者李亞普諾夫在1892年提出了穩定性的精確概念之后，在李亞普諾夫穩定性提法下，這種理論在很長時間里沒有大的進展。直到20世紀50年代末至60年代初，前蘇聯學者祖波夫和莫夫強才擴展了穩定性的定義，將它擴展到了無限自由度系統，由此可以解決依賴于時間的偏微分方程解的穩定性問題。

3.2

奇怪吸引子與全局分叉問題

也許是龐加萊與希爾伯特的威望太高了，自從龐加萊之后，人們雖然認識到周期解的重要意義，但是更多的工作都集中在平面上的動力系統。人們也許認為，平面上的動力系統的極限環或周期解弄清楚了，其他情形大致也便清楚了。

靜止的粘性流體，當溫度不均勻時它將如何運動？ 1963年美國麻省理工學院的氣象學家洛倫茲教授發表了一篇《確定性非周期流》的論文，他將前人關于大氣對流的方程做了很大的簡化，他把方程中的速度與溫度函數展為級數，僅取三項，于是得到了一組方程：

x? = -10x + 10 y

y? = rx - y - xz

z? = -(8/3)z + xy

其中 x、y、z 分別是流動速度和溫度的第一項，若令方程的左邊都為零，可以得到三個穩態解。其中一個表示沒有對流，另外兩個是平穩對流。式中的常數r是可變的。對于不同的r值，可以討論這三個解的穩定性。當r小于24.74時，平穩對流狀態是穩定的；在臨界值 24.74處，對流開始；在r取28時，恰好是不穩定對流開始。若令r=28，來求解方程。結果，這個僅含兩個二次項的方程組，比想象的復雜得多。這個方程也由此而出名，被稱為洛倫茲方程。

洛倫茲用計算機求解這組方程算了3000步，在開始的1000 步，有點像周期解，隨后卻越來越看不出規律，在2000步以后，變為毫無規律的混沌。計算結果在相空間表現為圍繞兩個環來回轉圈。這種現象被后人稱為奇怪吸引子。吸引子，是動力系統的解在時間t 趨于無限增長時解的極限集合。在洛倫茲之前，人們由于只了解平面上的運動，對吸引子的了解僅限于平衡點、極限環等少數類型。由于洛倫茲方程的引進，使人們看到了以前沒有見過的吸引子，所以稱為奇怪吸引子。

洛倫茲

混沌，是一個確定性的動力系統在一定條件下它的解轉化為無規則行為的現象。例如，從煙筒里冒出的煙，開始是比較規則的運動，過一段時間就變為無規則運動。洛倫茲奇怪吸引子是最早發現的一類向混沌轉化的例子。后來有越來越多的人研究混沌，有一個階段形成熱潮。它之所以受到重視，是由于混沌的發現，使人類對客觀規律認識來了一個飛躍。自從1812 年，拉普拉斯在他的《概率分析理論》明確提出確定論的哲學觀點之后，一般人認為在力學范圍內，運動是確定的。在20世紀初量子力學產生后，人們改變了看法，認為在微觀世界里，確定論不對，但是在宏觀力學中，確定論還是絕對正確的。現在人們開始認識到在經典力學的范圍內也可以出現隨機現象。所以人們把混沌的發現認為是科學在20世紀的重大進展。

一個依賴于參數的動力系統，當參數取某些值時，會產生奇怪吸引子，或者會產生解曲線的全局性的性質變化，這也可以認為是一種分叉，稱為全局分叉。

3.3

孤立波的研究

孤立波最早的記載是英國學者羅素在1834年于蘇格蘭愛丁堡到格拉斯哥的聯合運河上發現的。當運河啟閉閘門時產生了一個波，他騎著馬一直追趕了1.5英里，發現這個波并未變形。羅素 1840年發表了一篇論文，在論文中他首次使用了孤立波這一名詞，并預言了這種孤立波的傳播速度為c =【 g(h + k)】^½，其中 g 為重力加速度，h為擾動的水深，k為波高。羅素的文章后來引起了爭論，布森涅斯克發表文章表示支持，英國的天文學家艾里與流體力學家斯托克斯都發表文章表示反對。最后英國科學家瑞利于1876 年發表《孤立波》的文章才以肯定的結論終止了這場爭論。

1895年荷蘭科學家科爾泰沃赫與德弗里斯給出了淺水波方程，

u_t + u_x+ uu_x+ u_xxx= 0，

現今稱為 KdV 方程，并且給出了一個精確的行波解，其中u是波的高度。

進入20 世紀后，在很長的時間里，孤立波幾乎被人們遺忘了。20世紀50年代以來，發現在等離子體內可以有孤立波傳播，又發現在連續的非線性振動系統中有孤立波現象。由此再次引起了廣泛的關注。美國數學家拉克斯于1968年證明了對于二階方程

( d²y/dx² ) +[λ – u（x,t）]y = 0, a ≤ x ≤ b ，

且y在兩個端點為零，當u（x, t）滿足 KdV 方程時，所對應的特征值λ是同一個。這就是所謂特征值的逆問題。由此引起了人們對量子力學、非線性方程的積分求解,以及積分變換等研究方向之間的聯系與有關數學、力學、物理學更廣泛的興趣。一些研究湍流的學者認為湍流中的渦的運動有可能具有孤立波的性質。探討孤立波也許可以為揭開湍流的秘密開辟另一條路。

以上這些基本理論問題的研究進展，改變了人們的世界觀，以往認為確定論的動力系統，現在發現可以包含隨機行為，以往認為只有線性波動才滿足疊加原理，現在認識到非線性波動也滿足疊加原理，而且廣泛地存在于自然界，分岔與穩定性問題研究范圍被擴大。所以對這些基本理論的研究不僅有益于力學學科的發展，對于整個自然科學乃至哲學和認識論也具有革命性的意義。

本文選自《現代物理知識》2017年第5期 時光摘編