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簡要中國古代數學史

引言：

數學文化在中國歷史悠久。在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”；據說《易經》還包含組合數學與二進制思想。2002年在湖南發掘的秦代古墓中，考古人員發現了距今大約2200多年的九九乘法表，與現代小學生使用的乘法口訣“小九九”十分相似。

我國古代數學文化,不僅同西方古代數學文化一樣具有偉大的成就,而且直到15世紀以前,特別是在古希臘文明衰落后,還在很多方面領先西方1 000多年. 例如,使用測量作圖工具、商高定理,發現分數、負數和零,圓周率計算,隙積術、垛積術、大衍求一術以及解高次方程等。 

中國數學的發展歷程

縱觀整個中國古代數學發展史，數學大發展的時代，往往卻是社會環境不怎么穩定或者數學并未得到大量應用的時代。先秦時代的數學萌芽產生了，秦漢是中國古代數學體系的形成時期，只是繼承了這些數學成就而沒有相應的發展。之而后魏晉、南北朝推動力數學大發展，到隋唐才建立了數學教育制度，宋元迎來了古代數學的最高峰。直到西方在1840年以后大規模地接觸中國，完整地數學體系和先進系統的數學思想才開始傳入中國。

一、中國數學的早期發展

作為世界四大文明古國之一，中國從很早開始就發展出了自己的數學體系。《易·系辭》記載：“伏羲作結繩”，“上古結繩而治”，后世圣人易之以書契。其中有十進制制的記數法，出現最大的數字為三萬。商代的甲骨文上出現了完整的十進制，這是位值制的最早使用。算籌是中國古代的計算工具，春秋時代嚴格的籌算已經成型并得到了廣泛的應用。算術四則運算在春秋時期已經確立，乘法運算已廣為流行。“九九表”一直流行了約1600年。

夏本紀 第一章

在幾何學方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，并早已發現“勾三股四弦五”這個勾股定理﹝西方稱畢達哥拉斯定理﹞的特例。在公元前2500年，我國已有圓、方、平、直的概念。戰國時代《考工記》中實用的幾何知識流傳到今天。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。

著名的有《墨經》中關于某些幾何名詞的定義和命題。《莊子》中則強調抽象的數學思想。其中幾何概念的定義、極限思想和其它數學命題是相當可貴的數學思想。此外，講述陰陽八卦，預言吉兇的《易經》已有了組合數學的萌芽，并反映出二進制的思想。

二、中國數學體系的形成與奠基

這一時期包括從秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數學發展歷史。秦漢是中國古代數學體系的形成時期。在這一時期，數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。

現傳中國歷史最早的數學專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡《算數書》。

《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立并鞏固時期數學發展的總結，約成書于東漢初年。就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。這本書在例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等問題上，達到了很高的水平。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。它的成書標志著我國傳統數學理論體系——初等數學理論體系的形成。比歐洲早了1400多年。

《九章算術》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。

西漢末年編纂的《周髀算經》，主要是談論蓋天說宇宙論的天文學著作，但包含許多數學內容，在數學方面主要有兩項成就：(1)分數、等差數列、勾股定理用于測量術；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為后來重差術（勾股測量法）的先驅。此外，還有比例知識。

三國到南北朝的社會秩序混亂，戰爭饑荒橫行，儒家在思想界的統治地位被削弱，讖緯 （小知識） 迷信與繁瑣的經學退出了歷史舞臺，數學卻得到了極大的發展。魏、晉時期出現的玄學，（尚談“三玄”即《易經》、《老子》、《莊子》）為主。）不為漢儒經學束縛，思想比較活躍。它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數學從理論上加以提高。

吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《<九章算術>注》，魏末晉初劉徽撰《<九章算術>注》、《九章重差圖》都是出現在這個時期。尤其是劉徽的《<九章算術>注》，總結、發展了《九章算術》編纂時就使用的出入相補原理、截面積原理、齊同原理與率的理論，完善了重差術，引入了極限思想和無窮小分割方法，以演繹邏輯全面證明了《九章算術》的公式、算法，奠定了中國傳統數學的理論基礎。他還首創了求圓周率的正確方法及若干新的方法，糾正了《九章算術》的許多失誤。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。

祖沖之父子的工作在經濟文化南移以后，發展了具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統數學大大向前推進了一步。南朝祖沖之著《綴術》，是一部水平比劉徽《九章算術注》更高的著作，可惜隋唐算學館學官“莫能究其深奧，是故廢而不理”（李淳風語），遂失傳。祖沖之、祖暅父子在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點后第六位； (2)在劉徽工作的基礎上推導出球體體積的正確公式，并提出“祖暅原理”（二立體等高處截面積均相等則二體體積相等”的定理。）(3)發展了二次與三次方程的解法。

這也許是我國數學家第一次，也是目前為止唯一次出現在郵票中

此外，這一時期，還編纂了《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》（已佚）、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》等著作，開辟了同余式解法等新的方向。

三、中國數學教育制度的建立

到了隋唐時期，國子監設立了算學館，科舉中也有“明算科”，唐初李淳風等整理《算經十書》，成為算學館的教材。 公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》中，提出了等間距二次內插公式，這在數學史上是一項杰出的創造。唐初王孝通撰《緝古算經》，探討以幾何方式建立三次多項式方程，發展了《九章算術》中的開方理論。

唐中期以后，改革了計算方法，簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算。然而隋唐雖然是盛世，數學上也有設立算學館，整理算經十書等舉措，但除在天文歷法的計算中先后使用了等間距和不等間距內插法外，幾無創造。

祖沖之

秦九昭

隋唐時期沒有出現過一位可以與劉徽、祖沖之等比肩的數學家，也沒有創作過一部可以與《九章算術》、《九章算術注》、《綴術》等等量齊觀的數學著作。王孝通的《緝古算經》在解決土木工程中的數學問題上有所推進，其主要貢獻是三次方程。而據錢寶琮考證，祖沖之已能解負系數三次方程，比王孝通還高明。李淳風等整理十部算經，很有貢獻，然而，除《周髀算經注釋》比趙爽注有所推進外，他們對其他算經的注釋，意義都不大。尤其是對《九章算術》的注釋，從整體上講，無論是數學成就還是數學理論，都是遠遠低于劉徽注的作品。

四、中國數學發展的高峰

經過盛唐生產力的大發展，生產關系和社會各方面產生了新的變革，到宋元時期，農業、手工業、商業相當繁榮，思想統治也相對寬松，科學技術的發展進入中世紀的黃金時代。特別是造紙業與印刷技術的發達，對數學知識的流傳更加方便。1084年北宋秘書省刊刻了漢唐九部算經，是為世界上首次印刷數學著作。從11～14世紀約300年期間，是中國古代數學空前繁榮的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家及數學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等。

楊輝在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早700多年。

現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項杰出的創造。元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。在留傳至今的《四元玉鑒》中，朱世杰得到一個四次函數的內插公式，并對這一杰出創造進行了系統的論述。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。

中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。16、17世紀，在我國大量的有關珠算的書籍中，最有名的是程大位的《直指算法統宗》。元代逐漸形成一套完善的算法和口訣，珠算普及以后，籌算便自動銷聲匿跡了。在現代計算機出現之前，算盤是世界上簡便而有效的計算工具。

宋元時期，古代數學迎來了發展的高潮，數學在很多領域都達到了中國古代數學，也是當時世界數學的巔峰。這個高潮體現在兩個方面。一是探討乘除捷算法，贗本《夏侯陽算經》、《楊輝算法》、朱世杰《算學啟蒙》等作出重大貢獻，為珠算盤的產生準備了算法條件，珠算盤應運而生。一是在高次方程解法（增乘開方法）、同余式解法（大衍總數術）、列方程（天元術）與聯立高次方程組解法（四元術）、高階等差級數求和（垛積術）與招差法（有限差分法）等方面取得超前其他文化傳統幾個世紀的重大成就。

五、中西方數學的融合

元朝后期政治腐敗、經濟落后、農民起義此起彼伏的環境中，數學發展跌入低谷。明清時期，由于理學統治、八股取士、大興文字獄，禁錮了人們的思想，扼殺了自由創造。明朝數學水平遠低于宋元，漢唐宋元數學著作不僅沒有新的刻本，反而大都失傳，《九章算術》幾乎失傳。從此，中國失去了數學大國的地位。

明末，西方傳教士開始到中國活動，利瑪竇等傳教士將西方數學傳入中國，主要傳入幾何、代數、三角等初等數學知識。其中利瑪竇與徐光啟和李之藻分別合譯了兩部數學著作：《幾何原本》(前6卷)、《同文算指》。

利瑪竇,徐光啟合譯的《幾何原本》

《幾何原本》文字通俗，很少疏漏。盡管當時原著中的拉丁文沒有現成的中國詞匯可對照，但是徐光啟仍是克服困難，創造出許多恰當的譯名，使全書達到信、達、雅的水平。

然而，1723年，雍正帝趕走傳教士，從此人們一方面致力于消化傳入的西方數學，其中會通中西數學的杰出代表是梅文鼎，他正確對待西方數學，對清代中期數學研究有著積極影響。這一階段集大成的結果是編纂了清康熙帝御定的《數理精蘊》53卷。我國數學研究出現了中西融合貫通的局面。

另一方面，一批失傳已久的漢唐宋元算書被發現。戴震等校勘《九章算術》等漢唐著作，促進了乾嘉時期研究古算的高潮，數學工作者們在研究傳統數學的同時吸收新的方法，一時間，出現了人才濟濟、著述如林的好勢頭。如：汪萊、李銳等在方程論；董佑誠、項名達、徐有壬、李善蘭等繼續推進冪級數展開式的研究；李善蘭創造尖錐術，踏上了微積分的門檻。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》，開創了數學史研究之先河。

在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，這些工作較宋元時期的數學進了一步。中國數學家在冪級數、尖錐術等方面已獨立地得到了一些微積分成果，在不定分析和組合分析方面也獲得了出色的成績。然而，即使這樣，在世界的同行們之中，我國也仍然沒達到領先的地位。

六、現代數學研究的開端

19世紀末20世紀初，中國數學界發生了很大的變化，派出大批留學生，創辦新式學校，組織學術團體，有了專門的期刊，中國從此進入了現代數學研究階段。從1847年，以容閎為代表的第一批學生出國后，形成了一個出國留學的高潮。當時出國留學人數每年要達到數千人之多，隨著留學人員的陸續回國，各地大學的數學教育有了明顯的起色，許多大學相應設立了數學系或數理系。

蘇步青

陳省身（坐著）

華羅庚

谷超豪

早期出國留學的人中，學數學的人不多，其中做出突出成就的有：蘇步青、陳建功、陳省身、周煒良、許寶、華羅庚、林家翹等人。這樣一批海外學子歸來之后，在科研、教育、學術交流等方面都有了新轉變。科研上，1949年以前共發表652篇論文，盡管數量不多且僅限于純數學方面，但是其水平卻不低于世界上的同行們。教育上，建立了正規的課程設置，數學的學時多于文科，對教科書也進行了更新。到1932年為止，全國各大學已有一支約155人的數學教師隊伍，可以開5至10門以上的專業課。學術交流上，1935年7月成立“中國數學會”，創辦《中國數學會學報》和《數學雜志》。1932年和1936年召開的第9、10次國際數學會議，我國均有人參加。這時，應邀到華講學的各國數學家也紛至沓來，給過去閉關自守的數學領域，帶來了現代的氣息。