久久99国产精品尤物-国产高清色播视频免费看-男生肌肌往女人桶爽视频-精品国产-91PORNY九色|www.jqdstudio.net

扎哈的絕唱：大興機(jī)場的幾何賞析

點(diǎn)擊：  作者：顧險峰    來源：老顧談幾何  發(fā)布時間:2019-09-26 10:45:34

 

      偉大的數(shù)學(xué)和偉大的藝術(shù)精神實(shí)質(zhì)是相通的，偉大的數(shù)學(xué)家和偉大的藝術(shù)家通過不同的途徑領(lǐng)悟到自然的奧妙玄機(jī)，用不同的方式向蕓蕓眾生傳達(dá)語言難以描繪的優(yōu)美深邃。這些超越時代的先驅(qū)者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進(jìn)步，他們光輝的思想逐漸被社會所認(rèn)可并欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。

六芒星

2019年夏天，老顧再度在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心開課，講解《計(jì)算共形幾何》。學(xué)生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學(xué)子，也有學(xué)識淵博的大學(xué)教授。既有工程領(lǐng)域的骨干精英，也有功成名就的金融家，企業(yè)家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內(nèi)斂，目光深遠(yuǎn)。很多學(xué)員在自己的領(lǐng)域深耕多年，深刻地理解了所在領(lǐng)域的根本問題，并且多年來一直力圖解決，因此來學(xué)習(xí)共形幾何，希望跨界的思維會帶來實(shí)質(zhì)性的突破。

 

圖1. 六芒星的構(gòu)型。

今年課程設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計(jì)算力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)中的四邊形網(wǎng)格生成的理論基礎(chǔ)。這些概念和理論非常抽象，學(xué)生們經(jīng)常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學(xué)生已經(jīng)具有一定的素養(yǎng)，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內(nèi)，因此他能夠理解并接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實(shí)超越了他的想象，定理所蘊(yùn)含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認(rèn)這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴(kuò)大知識結(jié)構(gòu)，內(nèi)化這一定理，并升華到更為抽象普適的層次。

但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學(xué)生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學(xué)習(xí)阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數(shù)、共形結(jié)構(gòu)、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們借助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強(qiáng)行推進(jìn)，直至頓悟。這其實(shí)和數(shù)學(xué)歷史的真正發(fā)展是一脈相承的。當(dāng)年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，并給出了初等證明。但是，無人真正理解其內(nèi)在深意。此后，人類數(shù)學(xué)家又花費(fèi)了一百多年才發(fā)展出成熟的數(shù)學(xué)語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達(dá)阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數(shù)的時候，我們只能從抽象到抽象，學(xué)生們都似乎處在朦朧混沌的狀態(tài)之中，自行編織知識網(wǎng)絡(luò)，填補(bǔ)認(rèn)知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費(fèi)大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術(shù)圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因?yàn)檫@一詭異的構(gòu)型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯(lián)結(jié)著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數(shù)十年之后能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！

謝師宴

每年老顧回清華講學(xué)，都要宴請當(dāng)年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計(jì)算機(jī)系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學(xué)生爭取來非常難得的學(xué)習(xí)機(jī)會，并且同時從數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)兩個方面培養(yǎng)我們。黃老師的高瞻遠(yuǎn)矚，為老顧的學(xué)術(shù)生涯指明了方向和奠定了基礎(chǔ)，從而將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合，和丘成桐先生創(chuàng)立了計(jì)算共形幾何。

在謝師宴上，黃老師和理論班同學(xué)親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團(tuán)隊(duì)證明了曲面四邊形網(wǎng)格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點(diǎn)構(gòu)型的充要條件。黃老師和老顧詳細(xì)討論了證明細(xì)節(jié)，并且一針見血地指出了關(guān)鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關(guān)切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計(jì)算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅(jiān)持下去，只問耕耘、不求收獲。”

黃老師對于中國的教育現(xiàn)狀理解得非常透徹，對于學(xué)術(shù)界的優(yōu)點(diǎn)和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計(jì)算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠(yuǎn)。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領(lǐng)域呈現(xiàn)；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受并欣賞。

但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因?yàn)橐蛔鶄ゴ蟮慕ㄖM空出世 - 北京大興國際機(jī)場！

 

圖2. 北京大興國際機(jī)場航拍。

大興機(jī)場

耗資800億，號稱“新世界七大奇跡”之首的北京大興機(jī)場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機(jī)場，每年運(yùn)送旅客多達(dá)1億人次，飛機(jī)起降80萬架次。

 

圖3. 北京大興國際機(jī)場航拍。©李召麒

從空中鳥瞰永定河北岸的大興機(jī)場，宛如一只巨大的蝴蝶，神秘而魔幻。當(dāng)我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規(guī)模宏大的：六芒星！

 

圖3. 北京大興國際機(jī)場航拍近景。

航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優(yōu)雅，流暢靈動。站在航站樓內(nèi)部，仰望穹廬，六芒星的構(gòu)型更加突兀明顯。老顧的學(xué)生們齊聲尖叫：調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，全純二次微分！

 

圖4. 北京大興國際機(jī)場內(nèi)部仰望穹頂結(jié)構(gòu)。

自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建筑藝術(shù)有所了解的人一眼就可以看出：這覺絕對是建筑女魔頭扎哈·哈迪德的典型風(fēng)格！不錯，大興國際機(jī)場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！

 

圖5. 建筑界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）。

女魔頭

扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎?wù)撸∷龔氐捉鈽?gòu)了傳統(tǒng)的建筑美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，大膽運(yùn)用幾何結(jié)構(gòu)來構(gòu)造空間，其參數(shù)化（parametricism)設(shè)計(jì)使得建筑掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標(biāo)志性的曲線更給她帶來了無數(shù)的贊美和爭議。

傳統(tǒng)建制派的建筑師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建筑的實(shí)用性、施工難度、和環(huán)境的融入程度方面責(zé)難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽(yù)，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休于屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業(yè)生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設(shè)計(jì)都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。

 

圖6. 望京Soho。

所有的設(shè)計(jì)都停留于圖紙，在現(xiàn)實(shí)世界中四面楚歌

但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗?fàn)帯]有經(jīng)過建筑設(shè)計(jì)訓(xùn)練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設(shè)計(jì)突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建筑可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名斗士，長期的精神摧殘和超負(fù)荷的設(shè)計(jì)，使得扎哈在事業(yè)的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機(jī)場，令人扼腕痛惜！

 

圖7. 澳門新濠天地酒店。

數(shù)學(xué)分析扎哈的突破

那么，從數(shù)學(xué)家的角度如何來評價扎哈的設(shè)計(jì)作品呢？扎哈的本質(zhì)突破在哪里？其作品是精神失常的產(chǎn)物嗎？還是歸結(jié)為幾何的必然？

老顧對建筑設(shè)計(jì)方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠?qū)⒃慕ㄖL(fēng)格提升到（數(shù)學(xué)）理論高度。

幾何的突破 在傳統(tǒng)建筑行業(yè)，幾乎所有的作品都是橫梁、立柱、平墻、方窗，換言之幾乎所有的建筑表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統(tǒng)建筑是基于歐幾里得幾何。只有極少數(shù)天才的設(shè)計(jì)突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進(jìn)行建筑設(shè)計(jì)的第一人。人類歷史上，在長達(dá)數(shù)千年的期間，人類都認(rèn)為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實(shí)的幾何，直到愛因斯坦創(chuàng)建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實(shí)圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實(shí)的建筑世界應(yīng)該是彎曲的黎曼幾何。

 

圖8. 大興機(jī)場內(nèi)部的紐結(jié)結(jié)構(gòu)。

拓?fù)涞耐黄?/span> 在傳統(tǒng)建筑中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓?fù)淝蛎妫创髽堑恼w表面沒有環(huán)柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應(yīng)用。圖7的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環(huán)柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結(jié)。圖8顯示了大興機(jī)場內(nèi)部棧橋被設(shè)計(jì)成紐結(jié)結(jié)構(gòu)。這些復(fù)雜的拓?fù)錁?gòu)型，在傳統(tǒng)建筑中極為罕見，這是扎哈在拓?fù)浞矫娴耐黄啤?span lang="EN-US">

葉狀結(jié)構(gòu) 身為曲線之王，曲面的葉狀結(jié)構(gòu)（foliation）成為扎哈的終身標(biāo)志。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓?fù)渲写韺⒏呔S流形規(guī)則地分解為低維流形，因此本質(zhì)上是具有美學(xué)價值的解構(gòu)。

 

圖9. 小貓曲面的葉狀結(jié)構(gòu)。

圖9顯示了小貓曲面的葉狀結(jié)構(gòu)，除了幾個奇異點(diǎn)之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖6，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構(gòu)成了曲面的一個葉狀結(jié)構(gòu)。

 

圖10. 高虧格曲面的葉狀結(jié)構(gòu)。

圖10顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結(jié)構(gòu)。在奇異點(diǎn)處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分布盡量流暢光滑，這種形變不會改變?nèi)~狀結(jié)構(gòu)的整體拓?fù)湫再|(zhì)，但是會增加葉狀結(jié)構(gòu)的美學(xué)價值。兩個葉狀結(jié)構(gòu)如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結(jié)構(gòu)都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結(jié)構(gòu)，即所謂的調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，每個葉狀結(jié)構(gòu)等價類中，調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)存在并且唯一。

 

圖11. 共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)。

每個調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)都有另外的一個調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)處處與之垂直，被稱為共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)。如圖11所示，紅色和藍(lán)色的兩個葉狀結(jié)構(gòu)彼此共軛。仔細(xì)觀察圖3和圖4，用建筑術(shù)語講，我們看到扎哈為大興機(jī)場設(shè)計(jì)了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術(shù)語講，扎哈對于流暢柔順流線的極致追求，本質(zhì)上導(dǎo)致了大興機(jī)場設(shè)計(jì)中的共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)。由此可見，美學(xué)的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。

 

圖12. 葉狀結(jié)構(gòu)中度為6的奇異點(diǎn)。

 

圖13. 葉狀結(jié)構(gòu)中度為8的奇異點(diǎn)。

 

圖14. 度為5的奇異點(diǎn)。

扎哈建筑理論的深入思考

至此，我們得出結(jié)論，大興機(jī)場的整體設(shè)計(jì)是共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)中心是葉狀結(jié)構(gòu)的奇異點(diǎn)。那么，我們自然會產(chǎn)生一系列的疑問，這些疑問的解答只能依賴于深刻的共形幾何理論。

第一個問題：為什么一定是六芒星？而不是五芒，或者七芒星？

圖12-14 詳盡地解答了這個問題：仔細(xì)觀察圖12和圖12，沿著格線，我們的確能夠得到兩族彼此共軛的調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)。但是，圖14中，沿著格線，我們得到的不止兩族圓圈，并且每族圓圈都無法覆蓋整個曲面。換言之，圖14中的任意一族局部彼此平行的圓圈都無法構(gòu)成曲面的葉狀結(jié)構(gòu)。理論上，曲面上的葉狀結(jié)構(gòu)的奇異點(diǎn)通常是如圖12所示那樣，局部是一顆六芒星。圖13中度為8的奇異點(diǎn)不穩(wěn)定，經(jīng)過微小擾動，可以分解成兩顆六芒星。因此，大興機(jī)場的六芒星構(gòu)型本質(zhì)上代表了調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定奇異點(diǎn)（唯一）結(jié)構(gòu)，這是幾何原理所限制的必然。

扎哈并沒有精神失常，她的極端理性和審美導(dǎo)致了唯一的設(shè)計(jì)方案。扎哈天才地悟到了調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)的唯一性，和奇異點(diǎn)結(jié)構(gòu)的唯一性。

第二個問題：在一般曲面上，扎哈追求的共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)存在嗎？有多少個？

這個問題非常深刻。共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)滿足特定的橢圓型偏微分方程，解的存在性和解空間的大小由曲面的拓?fù)渌鶝Q定，葉子的形狀和分布由曲面的黎曼度量和葉狀結(jié)構(gòu)的整體拓?fù)湫再|(zhì)所決定。

一對共軛的調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)等價于曲面的一個全純二次微分。如果部分指定奇異點(diǎn)的位置，那么所有滿足條件的調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)構(gòu)成一個線性空間，空間的維數(shù)由黎曼-羅赫定理所決定。有興趣的同學(xué)可以參看老顧關(guān)于黎曼-羅赫定理的講義。

第三個問題：在一般曲面上，共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)的奇異點(diǎn)如何確定？

調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，或者等價的，全純二次微分具有很強(qiáng)的剛性。剛性這里意味著如果所有的奇異點(diǎn)位置確定下來，那么相應(yīng)的全純二次微分和葉狀結(jié)構(gòu)也就確定下來了。對于設(shè)計(jì)而言，要么整體大改，要么不改，局部微調(diào)是不可能的。并且所有的奇異點(diǎn)之間存在很強(qiáng)的約束，隨意給定幾個點(diǎn)，基本上不存在以這些點(diǎn)為奇異點(diǎn)的全純二次微分。那么如何確定給定的點(diǎn)可否作為奇異點(diǎn)來求得調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)？答案在于，這些點(diǎn)應(yīng)該滿足阿貝爾定理。同學(xué)們可以參看阿貝爾定理講義和雅可比定理講義。

扎哈建筑設(shè)計(jì)的計(jì)算

扎哈的大興機(jī)場整體設(shè)計(jì)是共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)中心是葉狀結(jié)構(gòu)的奇異點(diǎn)。據(jù)說這些柔順的曲線都是扎哈手繪出來的。大興機(jī)場還沒有對外開放，老顧還沒有實(shí)地考察過內(nèi)部設(shè)計(jì)。理論上，調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)都是可以自動計(jì)算出來的，但是現(xiàn)存于世的方法不超過兩種。老顧團(tuán)隊(duì)在2017年給出了一種基于圖值調(diào)和映射的算法，詳細(xì)解釋請參閱【1】和【2】。

 

圖15. 調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)的算法。

圖15解釋了我們算法的核心思路。如圖所示，給定一個靠虧格曲面，我們計(jì)算一些封閉圈（紅色曲線）滿足條件：每條圈沒有自相交；圈與圈彼此不相交；圈與圈彼此不同倫，即我們無法在曲面上將一條圈漸變成另外一條圈。我們盡量選取盡可能多的這種圈，直至無法在找到新圈為止。這些圈將曲面分解成一些碎片，每個碎片都是虧格為零的曲面帶有三條邊界，被稱為是一條褲子。如此得到了曲面的一個褲子分解。

我們構(gòu)造相應(yīng)的褲子分解圖（graph），每條褲子變成圖中的一個結(jié)點(diǎn)（node），每條紅圈變成圖中的一條邊（edge）。我們再為圖中每條邊賦予一個長度，然后計(jì)算從曲面到褲子分解圖的映射，使得每條褲子映到相應(yīng)結(jié)點(diǎn)；每條圓圈的鄰域映到相應(yīng)的邊。調(diào)節(jié)映射，使得曲面映射的彈性形變能量最小，如此得到了曲面的圖值調(diào)和映射（graph-valued harmonic map）。褲子分解圖（graph）邊上每一個點(diǎn)的原像是曲面上的一個圓圈，這些圓圈構(gòu)成了曲面的一個調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，每條褲子上都有一對奇異點(diǎn)。具體計(jì)算細(xì)節(jié)，請看論文【1，2】和【3】。

這一算法尚未融入到商業(yè)軟件，例如autocad或者maya。如果建筑師朋友們有興趣在設(shè)計(jì)中融入扎哈的風(fēng)格，可以聯(lián)系老顧團(tuán)隊(duì)。

思想的地標(biāo)

這里老顧從共形幾何角度，對扎哈設(shè)計(jì)理念進(jìn)行透徹分析，將大興機(jī)場整體設(shè)計(jì)思想歸結(jié)為共軛調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)（全純二次微分）及奇異點(diǎn)。雖然扎哈具有數(shù)學(xué)本科的背景，她不太可能深刻理解黎曼-羅赫，阿貝爾定理和葉狀結(jié)構(gòu)的共形幾何理論。但令人無比驚訝的是，扎哈僅僅憑借敏銳的審美，就從本質(zhì)上深刻洞察到這些抽象的幾何理論。這也正是扎哈無與倫比的偉大之處：對人世英勇無畏，對自然敬畏純真。

共形幾何理論表明扎哈設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)具有極強(qiáng)的剛性，可以說是牽一發(fā)而動全身，這意味著扎哈貌似驚世駭俗、大膽狂放的設(shè)計(jì)實(shí)際上是基于嚴(yán)格精密的理性。那些質(zhì)疑扎哈精神失常的凡夫俗子，實(shí)際上是無法理解扎哈深邃的思想。與其說扎哈顛覆了舊世界，不如說她使人類解放了思想，使得人為的僵硬設(shè)計(jì)更加貼近自然。

明年，老顧會將清華計(jì)算共形幾何的課堂搬到大興機(jī)場，用扎哈的藝術(shù)作品來使學(xué)生感受到幾何的壯美，從而盡早開悟。

調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)，扎哈的千古絕唱，必將成為首都北京的地標(biāo)，成為首都人民審美的地標(biāo)，成為首都人民科學(xué)思想的地標(biāo)！

 

圖15. 大興機(jī)場的調(diào)和葉狀結(jié)構(gòu)和奇異點(diǎn)，六芒星。

【1】N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory. CMAME 316 (2017), 758–781.

【2】N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II. CMAME 321 (2017), 406–426.

【3】N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral Mesh Generation II: Meromorphic Quadrtic Differentials and Abel-Jacobi Condition, arXiv:1907.0021.