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張奠宙:楊振寧講(經典)數學笑話兼論數學和物理的關系
點擊:  作者:張奠宙    來源:和樂數學微信號  發布時間:2024-02-16 11:39:04

 

 

楊振寧是當代的大物理學家, 又是現代數學發展的重要推動者, 他的兩項巨大成就: 楊–密爾斯規范場和楊–巴克斯特方程, 成為80年代以來一系列數學研究的出發點, 其影響遍及微分幾何、偏微分方程、低維拓撲、辮結理論、量子群等重大數學學科。筆者曾在「楊振寧與當代數學」的訪談錄中有過較為詳細的介紹(此文的中文版在臺灣「數學傳播」19924月發表, 內容不全相同的英文版刊于「Mathematical IntelligencerVol.15,NO.4,1993。它的中譯文已被收入楊振寧的新著「讀書教學再十年」(臺灣時報出版公司,1995), 這里記錄的有關數學與物理學的關系, 來自筆者在1995年末在紐約州立大學(石溪) 訪問楊振寧先生時的一些談話材料, 因為不是系統的談話, 故稱「漫談」。

 

 

.     有關數學的兩則「笑話」

 

1980年代初, 楊振寧曾在韓國漢城作物理學演講時說「有那么兩種數學書: 第一種你看了第一頁就不想看了, 第二種是你看了第一句話就不想看了」。當時引得物理學家們轟堂大笑。此話事出有因。1969, 楊振寧察覺物理上的規范場理論和數學上的纖維叢理論可能有關系, 就把著名拓撲學家Steenrod著的「The Topology of Fibre Bundles纖維叢的拓撲)[1]一書拿來讀, 結果是一無所獲。原因是該書從頭至尾都是定義、定理、推論式的純粹抽象演繹, 生動活潑的實際背景淹沒在形式邏輯的海洋之中, 使人摸不著頭腦。

 

上述漢城演講中那句話本來是即興所開的玩笑, 不能當真的。豈料不久之后被「Mathematical Intelligencer」捅了出來, 公之與眾。在數學界當然會有人表示反對, 認為數學書本來就應該是那樣的。不過, 楊振寧先生說「我相信會有許多數學家支持我, 因為數學畢竟要讓更多的人來欣賞, 才會產生更大的效果」。

 

我想, 楊振寧是當代物理學家中特別偏愛數學, 而且大量運用數學的少數物理學者之一。如果連他也對某些數學著作的表達方式嘖有煩言, 遑論其它的物理學家? 更不要說生物學家、經濟學家、一般的社會科學家和讀者了。

 

另一則笑話, 可在波蘭裔美國數學名家S.M.Ulam 的自傳「一個數學家的遭遇(Advantures of a mathematician) [2]中讀到。該書294頁上寫道: 「楊振寧, 諾貝爾物理學獎獲得者, 講了一個有關現時數學家和物理家間不同思考方式的故事: 一天晚上, 一幫人來到一個小鎮。他們有許多衣服要洗, 于是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標記:『這里是洗衣房』。一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎?』窗內的老板回答說:『不, 我們不洗衣服。』來人又問道:『你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎』。老板又回答說: 『我們是做洗衣房標記的, 不洗衣服』。這很有點像數學家。數學家們只做普遍適合的標記, 而物理學家卻創造了大量的數學。」

 

楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。數學圈外的人們對數學家們「只做標記, 不洗衣服」的做法是不贊成的。數學家Ulam 在引了楊振寧的「笑話」之后, 問道, 信息論是工程師C. Shannon 創立的, 而純粹數學家為什么不早就建立起來? 他感嘆地說:「現今的數學和19世紀的數學完全不同, 甚至百分之九十九的數學家不懂物理。然而有許許多多的物理概念, 要求數學的靈感, 新的數學公式, 新的數學觀念。」

 

.     理論物理的「猜」和數學的「證」

 

199512, 楊振寧先生接到復旦大學校長楊福家的來信, 請楊振寧在19965月到復旦為「楊武之講座」做首次演講。楊武之教授是楊振寧的父親, 又是中國數學前輩,早年任清華大學數學系系主任多年, 五十年代后則在復旦大學任教授, 所以楊振寧很愉快地接受了邀請。但是他不能像楊福家校長要求的那樣做20次演講, 只準備講三次。順著這一話題, 楊振寧先生又談了理論物理和數學的一些關系。

 

楊先生說:「理論物理的工作是『猜』, 而數學講究的是『證』。理論物理的研究工作是提出『猜想』, 設想物質世界是怎樣的結構,只要言之成理, 不管是否符合現實, 都可以發表。一旦『猜想』被實驗證實, 這一猜想就變成真理。如果被實驗所否定, 發表的論文便一文不值(當然失敗是成功之母,那是另一層意思了)。數學就不同, 發表的數學論文只要沒有錯誤, 總是有價值的。因為那不是猜出來的, 而有邏輯的證明。邏輯證明了的結果, 總有一定的客觀真理性。」

 

「正因為如此, 數學的結果可以講很長的時間, 它的結果以及得出這些結果的過程都是很重要的。高斯給出代數學基本定理的五種證明, 每種證明都值得講。如果讓丘成桐從頭來講卡拉比(Calabi) 猜想的證明, 他一定會有20講。但是教我講『宇稱不守恒』是怎么想出來的, 我講不了多少話。因為當時我們的認識就是朝否定宇稱守恒的方向想,『猜測』不守恒是對的。根據有一些, 但不能肯定。究竟對不對, 要靠實驗。」

 

楊先生最后說:「理論物理的工作好多是做無用功, 在一個不正確的假定下猜來猜去,文章一大堆, 結果全是錯的。不像數學, 除了個別錯的以外, 大部分都是對的, 可以成立的」。

 

楊先生的這番話, 使我想起不久前Quine Jaffe 的一篇文章[4], 發表于Bulletin of AMS,19938月號, 曾引起相當的轟動。該文的主題是問「猜測數學是否允許存在? 」。其中提到, 物理學已經有了分工, 理論物理做「猜測」, 實驗物理做「證明」。但是數學沒有這種分工。一個數學家, 既要提出猜想, 又要同時完成證明。除了希爾伯特那樣的大人物可以提出23個問題, 其猜想可以成為一篇大文章之外, 一般數學家至多在文章末尾提點猜想以增加讀者的興趣, 而以純粹的數學猜想為主體的文章是無處發表的。因此, 兩位作者建議允許「理論數學」, 即「猜測數學」的存在。

 

這樣一來, 現在有兩種相互對立的看法。一方面, 物理學界中像楊振寧先生那樣, 覺得理論物理的研究太自由, 胡亂猜測皆成文章,認為數學還比較好的。另一方面, 數學界如Quine Jaffe 那樣, 覺得目前數學研究要求每個結論都必需證明的要求, 太束縛人的思想。應該允許人們大膽地猜測, 允許有根據而未經完全確認的數學結論發表出來。二者孰是孰非, 看來需要一個平衡。許多問題涉及哲學和社會學層面, 就不是三言兩語可以解決的了。

 

.     復數、四元數的物理意義

 

 

虛數i=p

 

1 的出現可溯源于15世紀時求解三次方程,但到18世紀的歐拉時代,仍稱之為「想象的數」(imaginary)。數學界正式接受它要到19世紀, Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass 的努力, 以漂亮的復變量函數論贏得歷史地位。至于在物理學領域, 一直認為能夠測量的物理量只是實數,復數是沒有現實意義的。盡管在19世紀, 電工學中大量使用復數, 有復數的動勢, 復值的電流, 但那只是為了計算的方便。沒有復數,也能算出來, 只不過麻煩一些而已。計算的最

 

后結果也總是實數, 并沒有承認在現實中有真有「復數」形態的電流。鑒于此, 楊振寧先生說, 直到本世紀初,情況仍沒有多少改變。一個例證是創立量子電動力學的薛定諤(Schrodinger)[4]1926年初, 據考證, 他似乎已經得到現在我們熟悉的方程

 

 

其中含有虛數單位i, ,  是復函數, 但最后總是取實部。薛定諤因其中含虛數而對(1) 不滿意, 力圖找出不含復數的基本方程。于是他將上式兩面求導后化簡, 得到了一個沒有虛數的復雜的高階微分方程

 

 

1926年的66, 薛定諤在給洛蘭茲的一封長信中, 認為這一不含復數的方程(2) 「可能是一個普遍的波動方程。」這時, 薛定諤正在為消除復數而努力。但是, 到了同年的623, 薛定諤領悟到這是不行的。在論文[5],他第一次提出:    是時空的復函數, 并滿足復時變方程(1)。」并把(1) 稱謂真正的波動方程。其內在原因是, 描寫量子行為的波函數, 不僅有振幅大小, 還有相位, 二者相互聯系構成整體, 所以量子力學方程非用復數不可。另一個例子是H.Weyl 1918年發展的規范理論, 被拒絕接受, 也是因為沒有考慮相因子, 只在實數范圍內處理問題。后來由Fock London 用加入虛數i 的量子力學加以修改, Weyl 的理論才又重新復活。20 數學傳播212期民866月牛頓力學中的量全都是實數量, 但到量子力學, 就必須使用復數量。楊振寧和米爾斯在1954年提出非交換規范場論, 正是注意到了這一點, 才會把Weyl 規范理論中的相因子推廣到李群中的元素, 完成了一項歷史性的變革[6]1959, Aharanov Bohm 設計一個實驗, 表明向量勢和數量勢一樣, 在量子力學中都是可以測量的,打破了「可測的物理量必須是實數」的框框[7]。這一實驗相當困難,最后由日本的Tanomura 及其同事于19821986先后完成[8]。這樣, 物理學中的可測量終于擴展到了復數。

 

令我驚異的是, 楊振寧教授預言, 下一個目標將是四元數進入物理學。自從1843年愛爾蘭物理學家和數學家Hamiton 發現四元數之后, 他本人曾花了后半輩子試圖把四元數系統, 像復數系統那樣地廣泛運用于數學和物理學, 開創四元數的世紀。但結果是令人失望的。人們曾評論這是「愛爾蘭的悲劇」[9]。時至今日, 一個大學數學系的畢業生可能根本不知道有四元數這回事, 最多也不過是非交換代數的一個例子而已。我還記起,1986年春, 錢學森在致中國數學會理事長王元的一封信中, 曾建議多學計算器知識, 而把研究「四元數解析」(復變函數論的推廣) 的工作貶為「像上一個世紀」東西。總之, 我和許多數學工作者一樣, 認為四元數發現, 只不過是「抽象的數學產物」, 不會有什么大用處的。

 

楊振寧向我解釋了他的想法: 物理學離不開對稱。除了幾何對稱之外, 還有代數對稱。試看四元數a+bi+cj+dk , 其基本單位滿足i^2 = j^2 = k^2 = 1 , ij = k, jk =i , ki = j ; ij = ji , jk = kj , ki =ik 。像這種對稱的性質在物理學中經常可以碰到。問題是這種四元數的對稱還沒有真正用于物理現象, 而且物理現象中的一些對稱也還沒有找到基本的數學源由。最近, 丘成桐等人的文章[10]:「我在1977年發表的一篇文章—Condition of Self-duality for SU(2) gauge fields on Euclidean fourdimensionalspace[11], 曾推動代數幾何中穩定叢的解析處理的理論。我還沒有問過數學家, 不知道這是怎么一回事。許多工作, 包括運用四元數表示的物理理論, 也許會在這種交流中逐步浮現的」。

 

楊振寧先生又說, 至于將復變函數論形式地推廣到四元數解析理論, 由于四元數乘積的非交換性, 導數無法唯一確定, 所以不會有什么好結果出來。現在也有物理學家寫成著作, 用四元數來描寫現有的物理定律, 就沒有引起什么注意。將來要用四元數表達的物理定律, 一定會是一組非線性微分方程組, 其解的對稱性必需用四元數來表示。所以, 楊先生相信:「愛爾蘭的悲劇是會變成喜劇的」。

 

.     「雙葉」比喻

 

數學和物理學的關系, 應該是十分密切的。在數學系以外的課程中, 物理系開設的數學課最多最深。「物理學公理化, 數學化」, 曾是一個時期許多大學問家追逐的目標。不過, 擅長使用數學于物理的楊振寧教授卻認二者間的差別很大, 他有一個生動的「雙葉」比喻, 來說明數學和物理學之間的關系, 如下圖。他認為數學和物理學像一對「對生」的樹葉, 他們只在基部有很小的公共部分, 多數部分則是相互分離的。楊振寧先生解釋說: 「它們有各自不同的目標和價值判斷準則, 也有不同的傳統。在它們的基礎概念部分, 令人吃驚地分享著若干共同的概念, 即使如此, 每個學科仍舊按著自身的脈絡在發展。」[12]

 

 

參考數據

1. Steenrod, The Topology of Fibre Bun-dles, Princeton University Press, 1951

2. S.M. Ulam, Adventures of a Mathe-matician, Charles Scribners Sons, New York, 1976

3. Quine and Jaffe, Theoretical Mathe-matics: Toward a Cultural Synthsis of Mathematics and Theorectical Physics, Bulletin of Amer. Math. Soc., Vol. 29(1993),1-13.

4. 楊振寧: 1 的平方根, 復相位與薛定諤–在英國帝國大學記念薛定諤誕辰100周年大會上的演講, 1987, 收入「讀書教學又十年」,時報出版社, 1995, pp.4156

5. Schrodinger, E Ann. D. Phys. 81 (109)(received June 23).

6. C. N. Yang and R. L. Mills, Con-versation of isotopic spin and iso-topic gauge invariance. Phys. REv. 96(1954), 191-195.

7. Y.Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115(1959),485.

8. A. Tonomura et al., Phys. Rev Lett. 48(1982),1443;56(1986),792.

9. E. T. Bell, Men of Mathematics, Dover Publications, New York, 1937.

10. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, S.T. Yau:Einstein-Yang/Mills Black HoleSolutions. Chen Ning YangA Great Physicist of the Twentieth Century.International Press, Hong Kong, 1995, pp. 209-221.

11. C. N. Yang, Condition of Self-duality for SU(2)gauge fields on Euclidian four-dimensional space, Phys. Rev. Lett.38, 1977, pp. 1377-1379.

12. C. N. Yang, Selected Papers, 1945-1980, with Commentary. W. H.Freedman and Company, San Fran-cisco, 1983.

 

原文標題:和楊振寧教授漫談: 數學和物理的關系,來自《數學傳播》。

 

作者:張奠宙 任教于中國上海華東師范大學;來源:和樂數學微信號

責任編輯:向太陽
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