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 圖1 吳文俊

我想有許多數學，現在興旺一時，大家都還認為可以，但若要從歷史長河來看，它究竟能夠經歷多久，就不好說了。以后的事情我沒有預測，可是像位值制這種是經得起歷史考驗的，雖然它的重要意義不容易認識。沒有進位制，沒有位值制，計算機也造不出來，這個是嚴格的進位制而且是位值制。

我們再說中學，中學學的內容，首先是代數、關于代數的一些運算，然后是方程，主要是線性方程，還有排列組合、行列式等等，當然還有幾何、三角。這個幾何，我想是中學里最值得考慮的一個內容，中學的幾何，過去歐幾里得幾何占了很大的內容，占了很長時間，主要學習歐幾里德幾何，然后還講解析幾何。我說，凡是學過歐幾里得幾何的人，大概都有這種體會，就是你要證明定理，就像解四則難題一樣，是非常難的。你怎么添線，怎么轉彎抹角，怎么經過嚴密的所謂邏輯推理，（這也像作四則難題，要用嚴密的邏輯推理），怎么用巧妙的思維等等，而且證明定理還可以訓練腦筋（這也像作四則難題，也是訓練腦筋），這是很難的，非常難的。可是，我們從機械化的角度來看，四則運算這一部分完全是機械的；四則難題要靠巧妙的奇招怪招才能做，就不是機械化的，可四則難題一變成代數就機械化了。到中學里邊，做運算還有解線性方程這都是機械化的。

我說，在小學范圍主要是中國的傳統，是東方的數學，從內容上來講，小學里邊基本上是機械化的，就是四則難題是非機械化的。我剛才說過，四則難題這個東西應該即使不是完全取消，也只能保留一個很小的部分，這都是我個人的看法。在中學范圍，也是很大一部分機械化，也是中國的傳統，也是東方的數學，不是西方的數學。解線性方程，出現在中國兩千年前的著作里，是地道的著作，是東方數學，是完全機械化的。在整個中學范圍里，最不機械化的就是歐幾里得幾何這一部分。那么對歐幾里得幾何應該怎么看，我說明一下我的看法。我有點傾向于講恩格斯的數量關系，數學研究數量關系與空間形式，簡單講，就是講形與數。歐幾里得幾何體系的特點是排除了數量關系，純粹在空間形式里去推理，或者是把數量關系歸之于空間形式，或者干脆就排除掉數量關系，純粹在空間形式間經過公理定理來進行邏輯推理，這是歐幾里得體系。

另外一個體系剛好與之相反，是把空間形式化成數量關系來考慮的，那么這種考慮方式就是中國的傳統，或者是像17世紀解析幾何的作法，把空間形式變成數量關系，通過這些數量關系來計算等等，得出關于空間形式的種種結論。歐幾里得體系是非機械化的，把空間形式化成數量關系是機械化的。至于機械化，我說首先應該是中國，你要翻開世界各國的許多數學史的書來，就會一口咬定中國是沒有幾何的——幾何就是歐幾里得幾何。你要看看中國真正的數學史的話，就完全不是那么回事，它的幾何內容不是歐幾里得那樣的幾何內容。可是它是幾何啊！而且它還有一個特點，就是把空間形式變成數量關系來處理，這個發明大概出現在公元前10世紀左右。

圖2 未知數x

我國古代在10世紀、11世紀，引進了這種概念，叫做天元，后來又發展到地元等等。要從現代的符號講，這就相當于引進了x、y等等，用x、y，用天元、地元來表示某一個幾何的事實、幾何的事物，那么幾何事物之間的一些相互關系，就表示成天元、地元之間的一種方程或是x、y等等之間的一種方程，這個發明的重要意義幾乎可以跟位值制相提并論。

位值制的發明使得一切計算都變成輕而易舉了，也使得現代的計算機的機械化的制作有所依據。而天元、地元的引進，使得幾何的代數化成為可能。從此以后，幾何的研究就可以通過數量關系的研究來進行，我們現在老是盯住這個歐幾里得幾何死也不肯放，歐幾里得怎么怎么了不起。我想歐幾里得除了在中學這個角落占了這個陣地以外，到了大學就沒有多少陣地了，我們一講微分幾何不是一來就是公式嘛，一來就是方程嘛，微分幾何中所有的曲線曲面都要用方程來表達。光從曲線曲面的本身來考慮，當然可以根據許多奇招怪招做出許多漂亮東西來，可是我說你不能跑得遠，更不能騰飛，就像對于四則難題一樣，你對這方面也必須用代數來代替；同樣對于幾何，對于研究空間形式，你要真正騰飛，不通過數量關系，我想不出有什么好辦法。

當然歐幾里得幾何漂亮的定理有的是，漂亮的證明也有的是。可是就算你陷在里面，你也跑不了多遠。可以做出漂亮的東西來，可是我說要真正的騰飛呀，你不走這條路，我想不出你會有什么好辦法。

在中國的傳統數學中有許多這種幾何的例子，怎么樣把一個幾何的問題通過代數化變成方程，解方程是中國的傳統數學的一個傳統課題。可以用這個解方程的方法來處理，這是中國的幾何的處理的招，這跟歐幾里得的處理方法截然相反。我不是完全否定歐幾里得幾何體系的處理方法，我們現在一講古希臘的幾何學，往往提到三大人物，歐幾里得、阿基米德還有阿波羅尼。這個阿波羅尼最偉大的數學著作是什么呢？七卷的《圓錐曲線論》，就是用歐幾里得的體系來考慮圓錐曲線，寫了七大本。我想現在是不是還有人研究圓錐曲線要用這個方法呢？那還不是把圓錐曲線方程一寫，然后再用數量關系來處理。我想不見得還有人會用歐幾里得幾何的處理辦法來處理，你要用這種辦法來考慮圓錐曲線，需用七大本書才能做出證明，別的曲線就更難了。所以這條道路，歐幾里得的這條道路，本身是很有問題的。

圖3 歐幾里得幾何

那歐幾里得幾何在中學里怎么會占據了這么大的一個領域呢？在整個中學范圍內，它占據的地盤是相當大的。本來是東方數學的世界，中小學是東方數學的世界，可就是那個歐幾里得幾何，它占領了一個相當大的地盤。這里邊有種種的原因，這個原因牽涉到許多數學史問題，我有許多不是很清楚，我想將來會弄清楚，它怎么會侵占這么大的地盤的。我說這個并不是要把歐幾里得幾何完全一筆勾銷，這個我也不贊成，它是有許多值得考慮的地方，值得吸收的地方。不過用什么樣的方式，應該吸收哪種東西、排除哪些東西，再吸收另外一些什么東西，這就需要從長計議了。我現在鼓吹的不一定就是對的了——現代化就是機械化，能夠把這兩者等同起來。這個等同是有問題的，你可以有不同的理解，完全不同的理解。

我說如果是要機械化的話，大學現在還談不上。中小學本來應該是機械化的，不要把四則難題占的分量太多，完全不占也是不對的，這個可能都認識到了。可是對于歐幾里得幾何我看離開認識還很遠。我并不是說完全不要，可是應該及早地，就像小學趕快離開四則難題引進代數一樣，中學也是趕快離開歐幾里得。用什么方式，引進到什么程度，這個從長計議，可基本上應該及早地引進解析幾何。主要是沒有解析幾何，你微積分就沒有了，大學數學課程教起來就困難了。幾何就困難，微分幾何怎么教啊？微分幾何要是沒有這個數量關系，沒有一個空間曲線由三個方程來表示，曲面也由方程來表示，沒有這一套你怎么弄！如果沒有這一套，微分幾何這個課程就教不起來，其他課程就更不用說了。既然認識到這個武器是有利的，作為數學教育，應該及早地把這種武器傳授給下一代，我想教育的目的應該是這樣。當然應該慎重行事。有的要取消，應該慎重考慮，是不是取消部分，或是不應該取消；添加進來的，是不是應該添加一部分，或者不應該添加？這都得慎重地考慮。我想，總的一個，當然非常簡單明了，就是這樣，四則難題讓位于代數，歐氏幾何讓位于解析幾何。這就是我的基本主張，至于怎么樣具體處理，那是另外一回事。

比如說，歐幾里得幾何要講證明定理，那我現在就來講，怎樣用解析幾何來證明定理。過去在中學里也念解析幾何，可是對證明定理有的書上僅僅稍微說幾句，就沒有了。之所以如此主要是解析幾何把幾何關系變成數量關系，這個數量關系不好處理，算起來麻煩。那個時候還沒有計算機，現在有了計算機你也得有一套辦法，你若沒有辦法取而代之，你就不能隨隨便便把那一個完全砍掉。

圖4 吳文俊

下面我想講一講，怎樣在中學范圍里，通過解析幾何，取代某一部分，至少某一部分歐幾里得幾何定理的證明。

……我剛才說過斯托羅克提出了東方數學的稱謂。我在許多數學史的書上面都沒有看到這種話，而在斯托羅克的書上看到了。他的書有許多問題，讓人非常反感，可是這段話卻非常精彩。他指出來，中小學里邊的這個東方數學的味道，跟大學里邊完全不一樣，這就是機械化跟非機械化的區別。可是在中小學范圍里邊，即所謂東方數學的里邊混進了一部分非東方數學的東西，我說這個局面也可改變。

我今天講的這個東西是我多少年一直想講的。在好些年前，至少是1983年或者更早，我就想在中學里邊推行，可就是不敢。因為中學里邊是不能隨便進的，而且當時條件不具備，你要用計算機，可在中學里邊根本不可能。我想，現在中學里邊計算機是越來越普及了，而且計算機的發展非常神速，一個小型的PC機體積雖然很小，但比較高級的軟件都可以放進去，高級語言也可以使用，所以客觀條件已經具備。幾何應該走這一條路——東方的道路，而不是走那一條非機械化的路。可是現在的中學不是那么回事，而且，有的人可能用種種形式還在推行，事實上還是在推行非機械化的東西，這是我非常不贊成的，本來在中小學，我是盡量避免卷進去的，可是我看到這種情況。一方面是正是時候，現在如果不做的話，將來也還是要做……，我說正是時候，也就是正是在中小學范圍里邊，真正推行東方色彩的時候。

圖5 中學課堂

說到幾何學，我還要說一句非常極端的話，我認為，中國的傳統幾何學才是真正的幾何學，而絕不是歐幾里得幾何是真正的幾何學，這是我的個人觀點，是不能作為定論的。我們這個討論班本來不是討論這個問題，我這里只是插進來談一下我個人的一些想法。

另一方面，至于具體怎么實行，大家是否考慮一下是不是自己具備這個條件，首先是對中學要有比較多的接觸的，你真正在中學里邊和教師、同學一起干的，而不是這樣講一次報告，說說就算數的。我說干就是要真干，真刀真槍地干，不是光說說而已，那要花很大的時間，而且這不是一個很簡單的問題。我希望有的同志如果樂意、愿意，并且覺得可以做，值得做的話，我希望有同志能夠推行這個事情。

注：本文轉自公眾號“和樂數學”