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吳文俊：數(shù)學(xué)教育弄不好，會引起許多災(zāi)難（上）

點擊：  作者：吳文俊    來源：數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng)頭條號  發(fā)布時間:2021-01-18 12:33:45

 

 圖1 吳文俊

 

我想今天談一下數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化問題，對這樣一個大的、重要的而且是復(fù)雜的問題，不是一個人隨便說了就算數(shù)的，應(yīng)該是經(jīng)過充分討論、集思廣益，來產(chǎn)生一個共識。

 

我說的這個現(xiàn)代化，實際上是指機械化。這當(dāng)然也是我個人主觀的看法，大家可以有許多不同的看法。

 

所謂數(shù)學(xué)教育是相對于數(shù)學(xué)研究而來的，這是兩個非常不同的范疇。作為數(shù)學(xué)研究，你要重視創(chuàng)新，可是作為數(shù)學(xué)教育，你就不能隨便創(chuàng)新，而且最好避免隨便創(chuàng)新，從影響來講這也不一樣：比如說數(shù)學(xué)研究，我若寫一篇大論文，可以得菲爾茨獎，而這對社會對經(jīng)濟會有什么影響？這個可以說談不上，對數(shù)學(xué)本身你說這篇大論文能起什么大的影響？也很難說。可是數(shù)學(xué)教育就不一樣了，這一影響可以很大——弄得好，可以使得數(shù)學(xué)今后的面貌完全不一樣；弄得不好，就會引起許多災(zāi)難。

 

這個災(zāi)難也不是隨便瞎想的。事實上，是出現(xiàn)過這樣的災(zāi)難的。我們在60年代中期到70年代中期經(jīng)歷了一場文化大革命。差不多在同時，在國外，主要可能是在法國和美國，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也出現(xiàn)了一場“文化大革命”。當(dāng)時，就在數(shù)學(xué)里邊推廣所謂的“新數(shù)學(xué)”，也就是當(dāng)時認為的“現(xiàn)代化”的數(shù)學(xué)。這個“現(xiàn)代化”的數(shù)學(xué)，把當(dāng)時研究最活躍的，比如說拓撲學(xué)的內(nèi)容放到中小學(xué)的一些課程里面去，放進一些拓撲的概念等內(nèi)容，還有許多其他的改革。總的說起來，我說他們的這一場“新數(shù)學(xué)”運動或者“數(shù)學(xué)現(xiàn)代化運動”中的“現(xiàn)代化”是極端非機械化的數(shù)學(xué)。大家可能都知道，這一場現(xiàn)代化的新數(shù)學(xué)運動，引起了數(shù)學(xué)教育方面的一場災(zāi)難。我想，我們幸好那個時候正好是文化大革命，所以對于這場國外的“文化大革命”沒怎么跟上。等到我們的文化大革命結(jié)束了，他們的“文化大革命”也以失敗而告終了。否則，我們要是也跟上他們干了的話，我們也會引起一場災(zāi)難。

 

可是另外，我們也有一些方面引起一些不好的后果。當(dāng)然由于我?guī)资隂]有怎么接觸學(xué)校教育，可能不是那么回事。好像有一個時期，我們在中學(xué)里邊，把解析幾何或者取消了，或者削減到了一個很少的程度。那么，這個后果之一呢，就是等到大學(xué)學(xué)習(xí)微積分的時候你先得花幾個月的時間來補這個解析幾何。我不知道是不是這樣一種情況，我說這也是近似一場災(zāi)難，當(dāng)然沒那么厲害。所以說，數(shù)學(xué)教育的影響很大，不能隨便來。這和數(shù)學(xué)研究不一樣，研究工作為了創(chuàng)新，我可以橫沖直撞。可是數(shù)學(xué)教育作為教育你就必須慎重其事，要非常仔細，不能隨便亂來。稍微一個做得不對，就要引起很大的后果。

 

我本來是跟數(shù)學(xué)教育幾十年完全脫節(jié)了的，但說實在話，我對數(shù)學(xué)教育是一直很感興趣的。對于推行機械化，過去是條件不具備，現(xiàn)在呢，條件相當(dāng)成熟了，主要方面的條件都比較成熟了。剛才已經(jīng)談到，搞不好，會有類似新數(shù)學(xué)的這種危險。可是另外一方面，既有右的危險，也有左的危險。我說新數(shù)學(xué)的危險是由于推行極端非機械化產(chǎn)生的一種危險。可是你假定推行機械化的話，如果你推行不當(dāng)，也可以產(chǎn)生許多危險。所以對于這個地方右的、左的都可以產(chǎn)生很壞的影響。

 

我舉一個例子，要搞所謂的機械化，那當(dāng)然要使用計算機了，那么計算機在中小學(xué)里面推行，這當(dāng)然很重要。計算機從娃娃的時候?qū)W起，我非常贊成。可是假設(shè)學(xué)習(xí)不當(dāng)，你就會連加減乘除也學(xué)不成，小學(xué)里邊的學(xué)生學(xué)加減乘除時，你說我有一個計算器，我把一個數(shù)字輸進去，再把一個數(shù)字輸進去，一加一乘馬上就出來了。你要這個樣子去學(xué)的話，那么學(xué)生非但加減乘除學(xué)不會，而且以后的整個的數(shù)學(xué)、科學(xué)技術(shù)就都不可能學(xué)會。我說這是一個非常的危險，這個危險大概不會出現(xiàn)。可是另外有一種危險可以用形形色色的方式，引起對計算機的認識上的問題。使用得不當(dāng)，還可以引起各種各樣的危害的后果。所以，盡管我是不可能涉足，可是我想還是借這個機會談一下我對這個問題的看法，因為這個問題比較重要。當(dāng)然，我的話可能有許多錯誤，尤其可能跟現(xiàn)在的教學(xué)情況不符。可是我想，盡管我不在其位，現(xiàn)在還是要謀一下政。我現(xiàn)在來談一談我個人的看法。

 

 

圖2 計算機

 

大學(xué)中的現(xiàn)代化問題，或者照我的看法，所謂機械化的問題，現(xiàn)在談起來為時過早，可能要到21世紀再談比較合適。所以我想談的主要是中小學(xué)范圍里邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)代化，或者照我的看法，所謂數(shù)學(xué)機械化的問題。

 

解放前，我自己教過好些年的中學(xué)，大概有5年，我教的中學(xué)都是只有初中和小學(xué)的初級中學(xué)，我只有半年好像是在一個高中代過課，可真正的高中課沒教過。我覺得，中小學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容跟大學(xué)的教學(xué)內(nèi)容有一個非常不同的地方。就是大學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，基本上用我現(xiàn)在的話講是非機械化的，大體上是非機械化的，而且是西方的，是17世紀以后的西方的數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

 

可是中小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，我想借用一個叫做斯托羅克（既搞微分幾何又搞數(shù)學(xué)史）的話，他寫過一本叫做《數(shù)學(xué)簡史》的書，這個里邊講到，西方以外的這個數(shù)學(xué)，他起了個名字叫做東方數(shù)學(xué)。他說中小學(xué)里邊的數(shù)學(xué)，跟我們現(xiàn)在搞數(shù)學(xué)的人接觸的大學(xué)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)研究的那種數(shù)學(xué)味道非常不同，他把它叫做東方數(shù)學(xué)。取名為東方數(shù)學(xué)，說明中小學(xué)里邊的數(shù)學(xué)是來源于東方的數(shù)學(xué)。

 

我說這個東方應(yīng)該主要是指中國。我說他的這個說法非常對，整個中小學(xué)的數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，基本上是東方的也就是中國的，或者說是機械化的。大學(xué)教育內(nèi)容是西方的，大體是非機械化的；可是中小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，大部分、基本上、主要的部分是東方式的，是東方數(shù)學(xué)，是機械化的數(shù)學(xué)。

 

那么，我們現(xiàn)在來檢查一下怎么樣的才是東方的，是機械化的。先來看一下小學(xué)，在小學(xué)，我們首先要講四則運算，加減乘除，還有開方等等。其次可能還有比例，有一些我不知道，因為具體內(nèi)容我不太清楚，還有其他的一些，可能還有一些統(tǒng)計的常識，我在解放前有一段時間還要學(xué)習(xí)珠算。大體上是這樣，現(xiàn)在可能有很大的變動了。不過，你的基本內(nèi)容是不能取消的，這是最根本的。此外，解放前到了小學(xué)六年級有整整差不多一年，搞所謂四則難題，我也教過初中，到了初中，第一年一年級整整一年又講四則難題，就是對這個四則難題，在解放前我那個時候，學(xué)生差不多花了整整兩年時間來學(xué)習(xí)，現(xiàn)在情況我不知道。

 

那么四則難題的內(nèi)容是什么呢？我舉一個典型的例子，就是雞兔同籠。這個推理過程，可以說邏輯推理是非常嚴格的，思維是非常巧妙的，若要我說，這是用了一些奇招、怪招算出來的。

 

 

圖3 雞兔同籠

 

那么整整小學(xué)六年級和初中一年級這個兩年里面，就要學(xué)習(xí)許許多多諸如此類的四則難題，學(xué)習(xí)許多奇招怪招。這些奇招怪招如果學(xué)多了，對于邏輯推理、思維能力等等，的確是起了一定的作用，可是你學(xué)了那么多會有什么用？當(dāng)然奇招怪招學(xué)的越多，本領(lǐng)就越大，可事實上，將來你能夠用的，我想不會碰到，碰到的機會是微乎其微的。

 

大概現(xiàn)在不是這樣的，我不知道是從什么時候開始的，過去的初中是從初中二年級開始學(xué)習(xí)代數(shù)，用代數(shù)的方法來處理諸如此類的問題，四則難題就變得非常容易了。對于雞兔同籠之類的許多四則難題，你若用代數(shù)的方法來做，就會變得非常容易。更重要的是，盡管這種四則難題制造了許許多多的奇招怪招，但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛，談不上，遠遠談不上騰飛。可是你要是引進代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的，平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。所以四則難題用代數(shù)取而代之，這是完全正確的，對于數(shù)學(xué)教育這是非常重要的。我說不能在奇招怪招上消耗時間太多，消耗時間太多是錯誤的。但我并不是說完全排除不要，你可以不是花整整兩年的時間，而是把比如說幾個月的時間，兩三個月的時間花在這些難題上面，然后再講代數(shù)的方法，把這些難題用奇招怪招做的和用代數(shù)方法做的做一個對比，我想這樣應(yīng)該是比較有效果的，我不知道現(xiàn)狀是怎么樣的。我是非常反對那種做法的，你看他好像學(xué)了很大的本領(lǐng)——這一個是一個巧妙的，那一個又是一個巧妙的，其實他做不了什么大事，你要想上升或者說騰飛根本談不上。

 

這是我講的小學(xué)里邊的情形。這個地方我有必要說一下，我說小學(xué)里邊的內(nèi)容以四則運算為主，再進一步到代數(shù)方法的話，那這些內(nèi)容就都是機械化的，這個機械化的內(nèi)容所以能夠很容易地在小學(xué)里邊能夠?qū)W到，主要的一個關(guān)系是因為它是機械化的，不需要像四則難題那樣一定要用巧妙的想法，而是能夠比較機械地進行。關(guān)鍵是，加減乘除這些方法，是借助在位值制的所謂位值制的數(shù)字表達上面的。這個位值制對進位制是很大的一個飛躍，不是一個簡單的改進。我們知道十進位、二進位，而機器里邊的這個二進位的111，同樣的這個1位置不同，它代表的意義就不同，假定說化成十進位的話，最右邊的1就是2^0，中間的1是2^1，左邊的1則是2^2，同樣的1表示不同的意義。同樣的符號由于位置的不同，它的取值就不同，這就叫位值制。這個位值制比簡單的進位制內(nèi)涵不知要廣多少，對于這一點一般是不太認識的。

 

 

圖4

 

我簡單地說，進位制是只有中國有。我不是說外國沒有進位制，比如說拉丁美洲的瑪雅民族有20進位制，埃及有十進位制，巴比倫有60進位制。可這種進位制都是不完全的，是殘缺不全的。而只有中國的十進位制才是完全的，而且我們非但有完整的進位制，還有所謂位值制，這是很關(guān)鍵的一步，對于這一點一般是不太容易理解的。所以現(xiàn)在我來介紹拉普拉斯的一段話，拉普拉斯是這樣講的：“現(xiàn)在有所謂非常聰明的一個方法，把所有的數(shù)用10個字母表示出來，同時給他們一個絕對的位置的值。”這就是位值，就是對每一個位置，這三個1位置不同，不同的位置給它以不同的位值，“這個聰明的方法是從印度那兒來的。”

 

最后一句顯然是錯誤的。印度的數(shù)學(xué)表達方式簡直是不可思議的。西方往往以為所有從東方來的數(shù)學(xué)都是從印度來的，這個我們不去管它了。他說“用10個數(shù)字表達任意的數(shù)字，每一個數(shù)字由于不同的位置給它以不同的位值。這個聰明的方法是從印度那兒來的。這個想法是非常精致而且重要的，它看起來好像這樣簡單，正是由于非常簡單，所以我們不能足夠地認識它的功績。可是正是由于它的非常的簡單性跟它的極端的便利性，使得這個方法可以傳達到所有的計算，又可影響到所有的計算，使得我們的算術(shù)的系統(tǒng)，可以放在有用的發(fā)明的第一流的位置。至于發(fā)明這樣的一個方法是多么困難呢，可以從下面這個事實看出來：就是有兩位歷史上、古代最偉大的人物，兩個天才人物，一個是阿基米德，一個是阿波羅尼，像這樣兩個偉大的天才人物都不能夠發(fā)現(xiàn)這樣重要的事情，就說明發(fā)現(xiàn)這樣一個方法決不是一個容易的事情。”這是引了拉普拉斯的一段話。

 

 

圖5 阿基米德

 

我引這個話是因為現(xiàn)在可能有許多人對位值制不太注意，對于位值制的重要性不太認識，所以我就說明一下。我說正是由于中國古代發(fā)明了完整的進位制而且還創(chuàng)造了位值制，才使得各種運算如加、減、乘、除、開方等等成為可能。希臘時候是沒有開方，不會開方的，這是有書為證的。加減乘除怎么樣，我不知道，因為沒有書為證，我不好隨便說。

 

正是有了這樣的位值制，所以我們才能把算術(shù)變得非常簡單，才使運算、計算變得非常簡便，而且經(jīng)得起歷史的考驗。我想的話起碼兩千年或者我想至少要好幾千年。一直到現(xiàn)在，中小學(xué)里邊你能夠取消這些東西嗎？所以我說完全是經(jīng)得起歷史考驗的。

 

注：本文轉(zhuǎn)自公眾號“和樂數(shù)學(xué)”