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 林群院士

林群，中國科學院院士，現(xiàn)任中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員，發(fā)展中國家科學院院士，美國工業(yè)與應用數(shù)學學會會士。研究計算數(shù)學，并致力于數(shù)學普及。

科技創(chuàng)新正在更新教學

現(xiàn)代科技，基于計算機強大的計算能力，發(fā)展了信息技術，包括手機、無線網絡、視頻、網課……甚至發(fā)展到人工智能（代替大腦）。它們正在改變我們的生活和工作，同時也改變了科學、工程學和社會學。

以數(shù)學為例，出現(xiàn)了吳文俊的“數(shù)學定理機器證明”（這正是信息技術的觀點：利用機器強大的計算能力，去做冗長繁瑣的計算，從而將人類的精力解放到從事創(chuàng)造性的工作中去），他的高小山團隊以及廣州張景中團隊正在繼承與發(fā)展，并與人工智能相聯(lián)系。

還有吳文俊的“中國數(shù)學史研究”，張景中的“教育數(shù)學叢書”，以及Johnson的“數(shù)字模擬技術”等，他們都不再糾纏于經典數(shù)學中的存在性，更注重計算機時代的構造性和算法。這也可以說是現(xiàn)代科技引起的數(shù)學教學革命。

以微積分的改革為例，談一談現(xiàn)代科技創(chuàng)新引起的教學革命。

16世紀開始的文藝復興和工業(yè)革命，使數(shù)學有了飛躍發(fā)展，出現(xiàn)了微積分，建立了科學革命的基礎。

當時最牛的科學家有牛頓、柯西等，近代還有普林斯頓、劍橋等。但他們的微積分體系，建立在極限或無窮小的基礎上（例如，普林斯頓的一部名教材宣稱“沒有極限就沒有微積分”），簡言之，極限至上！

人云亦云、皇帝穿新衣、習慣成真理，人們就這么認了！

但是，這一體系的基礎——無窮小，究竟講的什么呢？連大數(shù)學家和哲學家羅素都不承認，他問道：“可是，無窮小是什么呢？沒有人知道！”

連偉人都不知道，更何況一般人呢！

原來，前幾代人的微積分大廈，都建在沙灘上，經不起推敲！

事在人為，有一天，國內就有人突破了無窮小和極限，發(fā)覺即使未經極限手續(xù)，也能定義微積分（見附注）。這就是前面第二段所說的計算機時代的教學改革：數(shù)學中存在性的抽象思維，正被取代為算法，只要算一算就出來了。

“在重要中找能做的，在能做中找重要的！”

基礎科學研究的重要性體現(xiàn)在它對整個科學領域的影響，一個國家有影響力的基礎研究成果越多，這個國家的基礎科學水平就越高。

中國數(shù)學在歷史上取得過輝煌業(yè)績，現(xiàn)代以來，中國向世界數(shù)學界貢獻出一批像華羅庚、關肇直、吳文俊、馮康、陳景潤這樣優(yōu)秀的數(shù)學家，他們一直激勵中國數(shù)學界尤其是一批年輕數(shù)學家向世界數(shù)學難題進軍。

附注（林群，張景中）：

微分學涉及物體運動的平均速度與瞬時速度。

經過觀察，在眾多案例中（例如正弦運動），這兩種速度之間有一微妙的關系式，它們之間的差別與時間段成正比地減少：|平均速度 - 瞬時速度| ≤ （時間段）的一個倍數(shù)這又導致瞬時速度的唯一性。所以，即使沒有取極限（讓時間→0）也能唯一地定義瞬時速度。

總之，微分學，或瞬時速度的定義，不必經極限手續(xù)，但通過有限的代數(shù)運算（簡單算一算就出來了）直接處理。

微積分的半壁山河，就此拿下。另半壁山河，積分學呢？它涉及求曲線下面積。

微妙的是，積分學（面積）必須求助于微分學（瞬時速度）：

瞬時速度曲線下面積，變成路程曲線的高度差，例如：余弦（細紅線）面積正弦（粗藍線）高，即二維的“油餅”變一維的“油條”。這樣的例子不勝枚舉，怎不令人驚嘆！

相關論文：

1）林群, 張景中. 微積分之前可以做些什么[J]. 高等數(shù)學研究，2019(1): 1-15.

2）林群, 張景中. 余弦面積正弦高[J]. 初等數(shù)學研究在中國, 2019(1): 1.

3）林群, 張景中. 微積分教材也會有錯嗎[J]. 數(shù)學通報, 2019(10): 1-5.

4）林群, 張景中. 先于極限的微積分[J]. 高等數(shù)學研究, 2020(1): 106-121.

本文發(fā)表于《科技導報》第10期

作者： 林群    可以：科技導報