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1966年以來，在毛主席革命路線的指引下，我曾多次下廠，在接受工人階級再教育的同時，聯系生產實踐進行了科學研究，取得了一定的收獲。回顧這幾年來走過的道路，我從心底里感謝黨對我的教育，更堅定了和工農相結合、理論聯系實際的方向。

某些人散布什么現在“不搞理論”，“不提科研”等奇談怪論，這是對當前正在深入開展的教育革命和開門辦科研的污蔑，其實質是妄圖把我們“扭”回到以前走慣了的老路上去。這些奇談怪論，反映了教育和科研戰線上兩個階級、兩條路線的斗爭十分激烈。我現在就來個現身說法，就自己這幾年來進行數學理論研究的切身體會，參加這場大辯論吧。

我的專業是幾何學。幾何學研究現實世界的空間形式，它的產生和發展，一開始就是由生產實踐決定的。但我從三十年代開始搞數學研究，直到1966年，一直沉湎于外國文獻堆里，看人家在研究什么，那些問題解決了，那些沒有解決，從中選擇自己研究的課題。

由于研究的出發點是外國文獻，所研究的“空間”就是“空”的東西，從來不聯系生產實踐，不聯系物質的運動形式。因此，幾十年來，在這種研究中雖然也有了名，有了利，但從不接觸工農，不聯系實際，真是“論文百余篇，實際不沾邊”。

在文革中，革命群眾批判了“智育第一”、“理論至上”和理論脫離實際的資產階級學術思想，深刻地觸及了我的靈魂。我開始認識到，以前那種從外國文獻出發，從理論到理論的研究方法，違背了毛主席的實踐論，違反了人的正確思想只能從三大革命實踐中來這條唯物主義認識路線。

在工宣隊師傅的領導下，我參加了開門辦學的教育革命活動，下廠接受工人階級再教育，聯系生產實踐。一到工廠里，許多老師傅都帶著生產實踐中的問題來問我。由于我從來沒接觸生產實踐，他們提的問題我一開始連聽都聽不懂，更不知道怎樣回答，幾十年來從洋文獻中記下的一大堆公式，竟然一個也用不上。

工人師傅語重心長地說：“不是數學公式沒有用，而是由于你脫離了生產實踐，不知道用在什么地方。”工人師傅的話是對我的舊的研究道路的深刻批判，同時又對我寄托了殷切的希望。

我就是在這種情況下開始新的數學理論研究工作的。下廠最初一段時間，以參觀學習為主，學習工人師傅不為名、不為利的崇高品質和“抓革命、促生產”的革命干勁，看到了工人同志造出的一艘艘萬噸輪，看到了他們技術革新和技術改造中所創造的新產品、新工藝，同時也看到了數學在生產實踐中的廣泛應用。

例如在機械加工切削工藝中，工人同志用某種刀具，安排好一定的裝置，在工件上切削出預定的曲線或曲面；如果要求的曲線或曲面變了，刀具和裝置也必須相應地加以改變。這個工作，工人同志通常是憑著自己的經驗做的。

這里就有一個問題：能不能從實踐中總結出一種幾何理論，再回過來指導實踐，多快好省地完成工作呢？特別是我們還看到某些廠的工人同志，在切削桿泥漿泵等工件時，創造了一套新工藝：刀盤軸線與工件軸線平行并保持一定的距離，刀盤一邊勻速旋轉，一邊沿工件軸線方向前進，刀尖就在勻速旋轉著的工件上切削出泥漿泵的曲面。工人同志用這個新藝大大提高了工效。

這就使我們更加感到有責任總結出這個刀口曲線，以便大力推廣這種新工藝。經過深入了解和研究，發現刀尖所走的曲線是由擺線運動和直線運動疊加而成的。擺線就是相切的兩圓在滾動中產生的曲線，我幾十年前就學過了，可過去就是不會應用。現在我吸取了工人師傅的經驗，根據刀口的實際運動狀況列出了它的曲線運動方程，并研究了這種曲線的性質和計算方法。

我們還發現，擺線在其他切削工藝如多邊形帽、光學儀器鏡面研磨等方面也有很多應用。我們把這些生產實踐中的數學知識寫成了文章，對這種新工藝的推廣起了一定的作用。有些工人同志反映：“很多公式我們都用上了，成倍地提高了生產效率。”

這件事雖然不算大，但給我教育很深。生產實踐中的確有許多數學問題。實踐出理論，數學理論研究要從實踐出發，為三大革命運動服務。數學本來就和生產實踐有著密切的聯系。在西方，幾何學被叫作“測地術”，說明它是從土地測量中產生的。

我國最早見之于《周髀算經》中的勾股定理，是我國古代勞動人民很早就在生產實踐中發現和利用的。后來的微分幾何，也是在十七、十八世紀資本主義的生產實踐中產生和發展起來的。只是在唯心主義思潮的影響下，它才走上了理論脫離實際的道路。回想起文革前自己閉門寫論文，關門搞科研，還認為“鐮刀割不出公式，鄉頭敲不出定理”，走的就是這一條道路。

其實，沒有生產實踐的發展，就根本沒有幾何學，哪里還會有什么公式、定理呢？幾年來，我和一些工農兵學員、青年教師一起，到過十幾個工廠、工地，走馬看花，接觸了許多數學問題。我們對這些問題進行了分類研究，編寫了新教材，到工廠里辦的數學短訓班上過課。通過這些活動，我從工人師傅那里學到了很多東西，他們也不斷地向我們提出了新的數學理論問題。

這種從生產實踐中總結出來的數學理論，和我過去閉門搞的脫離實際的純理論，完全不一樣。這樣的理論是否有“理論水平”呢？某些人不是反復強調現在“不搞理論”，甚至“不敢搞理論”嗎？他們要的是什么理論？難道從生產實踐中抽象出來的理論倒不算理論嗎？

對于這個問題，我也是有一個認識過程的。生產實踐中提出的數學問題，計算往往比較復雜。考慮到工人同志的加工和計算的方便，有時需要根據技術上所允許的誤差進行近似計算，而且精度要求不同，可以有不同的近似計算方法。這種工作是否有水平呢？我反復考慮過這個問題。我從三十年代開始搞微分幾何，論文寫了不少，被人認為是有水平的。

在解放前，我往往直接把論文寫成外文，寄到國外去發表，似乎這就意味著得到外國承認。解放后，也寫了一些論文，但也只有少數專家看看，當時還以為看得懂的人越少，越是顯示自己有水平。自以為唱的是“陽春白雪”，看不起人家唱的“下里巴人”。我的學生想去研究生產實際中的數學問題，我就看不起他們，認為沒有出息。幾十年來，這種思想在我頭腦里根深蒂固。

文革中，我所追求的“高水平”理所當然地受到了革命群眾的批判。我開始想，理論脫離了實踐，水平再高，高到天上，也不過是個空中樓閣，對于人民群眾是毫無用處的。水平高不高，首先要看它是否真理，是否經得住實踐的檢驗。

毛主席說：“真正的理論在世界上只有一種，就是從客觀實際抽出來又在客觀實際中得到了證明的理論，沒有任何別的東西可以稱得起我們所講的理論。”有了這種認識，我就努力去實踐。我也敢于把生產實踐中行之有效的數學理論寫成論文去發表，因為我感到，現在發表論文并不是供少數人鑒賞，而是向工農兵普及，為三大革命實踐服務，這種理論的水平，是以往那些空洞的論文所無法比擬的。

去年，上海工具廠和江南造船廠的工人和技術員向我提出內齒輪嚙合中干涉的計算問題。內齒輪是精密機床、儀器中重要的傳動零件。如果設計和制造得不好，就容易“軋煞”。為此就需要研究產生這種情況的條件，即考慮構成齒輪的兩個不同圓的漸開線的交點，以便定出齒高和齒的形狀，避免“軋煞”。原來，他們憑著經驗來設計，結果制造出來的齒輪有時就不能使用，成了廢品。

我當時根據工人師傅設計和制造內齒輪的實際情況，從數學上作出了分析和計算，請工人師傅們審查。他們發現，有了這種數學方法，內齒輪在什么樣的條件下會“軋煞”，在什么樣的條件下不“軋煞”，從計算中就能得出結論，并能根據這些計算作出調整，進行正確的設計，避免了盲目性。這樣的數學理論，工人師傅們用得上，他們歡迎它，認為這是個“好方法”。

以后他們又問我，這個問題的數學計算中有沒有更簡便易行的辦法，能不能從中總結出公式，列出計算表？根據這種要求，我花了幾個夜晚，繪了許多圖，最后終于找出了一個作圖方法。根據這張圖，一些主要數據大致都可以測量出來，和用電子計算機算出的結果比較，誤差很小。我把這個方法稱為“土辦法”，工人師傅說：“這個土辦法有水平。”

從我國生產實踐出發，經過工農兵群眾的批準，經過實踐的檢驗，這樣的數學理論才算是真正有水平的，才算真正的理論！“真理的標準只能是社會的實踐。”離開了人民群眾的革命實踐，就沒有真理，就沒有水平。以前自己雖然也立志要趕這個學派、那個學派，實際上是脫離我國的具體實踐，跟在人家后面爬行。這樣的水平，只能是爬行的水平。這樣的水平越高，離開我國的具體實踐就越遠。

從工人師傅在生產實踐中向我們提出來的要求來看，我的數學理論還很不夠用，有許多問題還必須學習。我過去基本上不搞具體的數學計算，但數學在生產實踐中的應用，要靠數目字才能解決問題。因此，為了適應這種需要，我必須學習新的計算方法以及電子計算機的算法語言。

此外，生產實踐還提出了許多數學難題，例如在內齒輪嚙合干涉計算中，參數與干涉條件之間的函數關系，還有待于上升到理論高度來分析。在查閱有關齒輪的文獻中，我發現原來的齒輪理論中有不少錯誤，需要根據我們今天的實踐加以修正。

如有可能，還有必要和工人師傅們一起寫一本關于齒輪的理論著作。總之，我要活到老，學到老，改造到老，爭取為我國的社會主義革命，為實現四個現代化多貢獻一份力量。

數學本來是從物理模型中抽象出來，但后來不結合物理模型，反而把它搞得更抽象了，使數學的發展走上了從理論到理論的道路。這一套研究數學的方法實際上和中世紀的經院哲學有某些類似。從實踐中產生出來的理論，是否只有離開實踐才能發展呢？

過去我一向認為，數學的發展只能是從已有的理論出發，經過一般化、嚴格化，逐步提高，而且這種提高了的理論未必能在實踐中得到應用。我是搞射影微分幾何“起家”的。射影的概念本來就是從建筑、繪圖等實際需要中產生出來的。

本世紀初出現了射影微分幾何，但由于它嚴重脫離了實踐，不久就衰落下去，成為“冷門”，世界上只有少數地方還有幾個人在那里研究。四十年代，我又去搞一般空間微分幾何，由于脫離了實踐，離開了物理模型，討論一些奇奇怪怪的空間的變換性質，也沒有搞出多少名堂。

到了六十年代初，我雖然有時還在繼續寫這兩方面的論文，但總覺得這有點像把舊棉襖添上一點新棉花再拿出來穿穿罷了。這就充分說明，離開了生產實踐，數學就成了無源之水，無本之木，就沒有什么生命力。過去我理論研究的路子越走越狹窄，這是我的那套資產階級治學方法的必然結果。

但對這一套方法，我又一向十分留戀，舍不得丟掉。過去有些同志提出理論聯系實際，我就教訓他們：“不要怕脫離實際！”甚至在文革中，在沒有下廠之前，自己仍一躍躍欲試地大搞“理論”，企圖仍然不聯系實際地去大搞“微分流形”，甚至把代數、拓撲、幾何“擰成一股繩”看成是數學發展的一個主要方向。

數學的發展究竟是理論——理論，還是實踐——理論——實踐呢？就說微分幾何吧。十七、十八世紀，微積分應用于機械運動曲線的研究，就有了微分幾何。但微分幾何的主要內容“曲面論”，卻是在十九世紀才完成的。當時，繪制地圖等實踐活動，要求通過大地測量定出兩個地點的相關位置和距離。地球表面是一種曲面，要把它繪在平面上，尺度比例就要根據地球表面彎曲程度的變化而變化，因此這就要研究曲面的性質。

十九世紀二十年代，德國數學家高斯總結自己親身參加的大地測量的實踐經驗，從地理制圖的需要出發，寫出了《曲面論》這部著作，提出了關于曲面的一般理論。所以，微分幾何學是按照實踐——理論——實踐的規律發展的。

但只有親身參加實踐，才有深刻的體會。從一九七二年以來，我每個星期都要到江南造船廠去一次，參加船體曲線數學放樣。船體數學放樣是造船工業方面的新技術。按照原來的老方法，要造多大的船，就要先有多大的樣，船與樣一比一。因此船體樣要花費很多人力、物力，要付出大量的勞動。

隨著我國造船工業的發展，船越造越大，原來的放樣樓也不夠用了，還得造新的放樣樓。而數學放樣是從數學上求出船體的曲線，再由電子計算機控制的機床切割出所需要的材料，這就可以節約許多人力、物力。船體上的曲線，要根據由技術上給定的點（例如通常是十幾個點）求出來。

江南造船廠的工人、技術員和我校協作，早就著手研究這種新技術。最近我們應用的數學方法是三次參數樣條曲線。但整個船體不是把這種曲線一段一段接起來就完事了，還必須滿足“光順”的條件。“光順”是說曲線看上去順眼，它是造船工業中提出來的問題，目前還沒有這方面的數學理論。它在數學上的一個要求是曲線上不能有多余的“拐點”，因為拐來拐去，就不“順”了。

這種三次樣條曲線一般有三個拐點。在樣條曲線選好以后，怎樣檢查有沒有拐點？一般的辦法是上電子計算機計算，發現有多余的拐點，換一段曲線再算，沒有一個準則，盲目性很大。我對三次參數樣條曲線進行了分析，發現可以用一種數學方法，把樣條曲線變換成另一條較為簡單的曲線，而在變換中，曲線拐點的數目能保持不變。

這樣，通過這種較為簡單的曲線，就能很容易地查出原來樣條曲線的拐點。這種數學方法就是所謂“仿射變換”。它本來是我的“看家本領”，幾十年來，從來沒有想過它有什么用途，現在在船體放樣中，它真正被用上了。生產實踐使它推陳出新，“舊棉襖”變成了“新棉襖”，我是多么高興啊！

對于實踐更具有指導意義的是，不僅要檢查出多余的拐點，而且還要有一個一般的數學方法來避免這些拐點。這說明原來的理論也不能原樣不動地用上，還要加以改造和提高，這是我的新課題。查閱了有關外國文獻，發現他們也沒有解決這個問題，有的說是解決了，其實里面有錯誤。

因此還得靠自力更生。后來我終于找到了改變原來參數的辦法，解決了這個問題。工人和技術員同志認為這套方法對他們造大船有一定的幫助，特別在快速輪船和遠洋輪船的設計和制造中，這樣的理論分析是很有必要的。

通過這一段實踐，我深切體會到：數學理論從產生到發展，一點也不能離開實踐。“為了繼續前進，我們必須汲取真實的關系，來自現實物體的關系和空間形式。”（《反杜林論》）數學理論為三大革命實踐服務，大有可為。而如果離開社會實踐，數學理論研究就一定會走到斜路上去。因此，決不能脫離三大革命實踐，從理論到理論地“擰成一股繩”，而要使理論和實踐“擰成一股繩”。

幾年來，我在聯系生產實踐中進行數學理論研究，從來沒有停止過。過去也搞理論研究，現在也搞理論研究，走的不是一條路。我感到現在才真正開始自己的數學理論研究工作了。我雖然已經年老了，但我深深感到，沿著毛主席指示的道路前進，與工農相結合，為三大革命實踐服務，為鞏固無產階級專政服務，路就越走越寬廣，越走越有奔頭。“雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越。”某些人企圖把我們拉回到邪路上去，這完全是癡心妄想。